Skew and Kurtosis

[Jonicute]

Ai giải thích/confỉm giúp tớ:

1. Tại sao kurtosis của normal distribution lại luôn bằng 3?

Tương đương với thắc mắc tại sao lại có công thức:

Excess kurtosis = sample kurtosis - 3

Mình không hiểu tại sao ở đâu "tòi ra" cái số 3. Nếu bắt nhớ thì nhớ được nhưng muốn hiểu bản chất của nó.

2. "Leptokurtic" và "Platykurtic" có phải là "excess kurtosis" không?

3. Có trường hợp nào một phân phối đang cần đánh giá có skew nhưng không hề có kurtosis không? Nghĩa là một phân phối có là normal distribution nhưng không có kurtosis?

4. Giải thích giúp nghĩa từ "fat tail" đó là "tail" có hình dạng như thế nào? (Nếu vẽ hình giải thích giúp mình thì tốt)

Thank you.

 

[Jonicute]

Chưa ai giúp, quân ta lại đọc kỹ hơn và tự giải thích cho quân mình hiểu vậy.

Tớ có gì hiểu sai các bạn đi trước chỉ bảo bổ sung giúp nhé. Thực sự là phần này không chỉ hơi khó nhớ mà còn khó hiểu đối với tớ. Ngay việc đọc mấy cái tên "kurtosis", "leptokurtic", "platykurtic" là đã đủ méo mồm rồi. Cảm giác vậy. :004:

Ai giải thích/confỉm giúp tớ:

1. Tại sao kurtosis của normal distribution lại luôn bằng 3?

Tương đương với thắc mắc tại sao lại có công thức:

Excess kurtosis = sample kurtosis - 3

Mình không hiểu tại sao ở đâu "tòi ra" cái số 3. Nếu bắt nhớ thì nhớ được nhưng muốn hiểu bản chất của nó.

Skew và Kurtosis là hai cách đánh giá mức độ rủi ro của một danh mục đầu tư portfolio.

Skew?

Skew đo mức rủi ro bằng cách tìm ra các phần tử "observations" trong tập nghiên cứu có giá trị ở xa mean hơn. Nghĩa là đánh giá mức độ phân tán của các phần tử cá biệt so với "tendency of center distribution".

Ví dụ: giả sử trong một tập thể người, nếu coi chiều cao là một đặc điểm quan sát "observation" và nếu giả định cứ những người cao là hay gây sự đánh nhau với những người còn lại thì chiều cao là yếu tố gây rủi ro. Người càng cao thì càng thích oánh nhau. Để đánh giá mức độ rủi ro của tập thể người ta sẽ đi tính một vài thông số sau:

* Tính chiều cao trung bình của tập thể- gọi là mean
* Bắt tập thể đó đứng xếp hàng theo thứ tự người cao đứng trước, thấp đứng sau và sau đó tìm chiều cao của người đứng thứ tự giữa - gọi là median
* Đếm số người có cùng một chiều cao và lấy ra số lượng người có cùng chiều cao nhiều nhất- gọi là mode

Giả sử tập thể người trên có mean<median<mode, nghĩa là tập thể đó có nhiều anh cao vượt trội hơn so với chiều cao trung bình của những người còn lại >>> Tập thể này có nhiều rủi ro đánh lộn lẫn nhau. Nôm na là như vậy cho nó dễ nhập tâm.

Một portfolio càng cho negative skew thì càng rủi ro <<< một portfolio có negative skew khi mean < meadian < mode

Khi nói skew người ta hay liên tưởng tới hình vẽ mô tả phân phối xác suất, khi các phần tử gây rủi ro hơn càng nhiều (hay nói cách khác, khi mean<median<mode) thì các mode càng "pull" sang bên phải và làm kéo dài cái đuôi bên trái hình vẽ khiến nó có dạng "flatter tail", đuôi phẳng. Đuôi phẳng bên trái đồng nghĩa với độ rủi ro cao.

Giá trị skew có 3 giá trị:

* Positive skew xảy ra khi mode<median<mean và đuôi phải phẳng thoải hơn
* Negative skew xảy ra khi mean<median<mode và đuôi trái phẳng thoải hơn
* Zero skew xảy ra khi mean=mode=median nằm trên một trục và 2 cái đuôi đối xứng nhau, gọi là phân phối chuẩn đều "symmetric"

2. "Leptokurtic" và "Platykurtic" có phải là "excess kurtosis" không?

3. Có trường hợp nào một phân phối đang cần đánh giá có skew nhưng không hề có kurtosis không? Nghĩa là một phân phối có là normal distribution nhưng không có kurtosis?

4. Giải thích giúp nghĩa từ "fat tail" đó là "tail" có hình dạng như thế nào? (Nếu vẽ hình giải thích giúp mình thì tốt)

Thank you.

Kurtosis?

Kurtosis cũng để đo rủi ro nhưng đo bằng cách so sánh với độ lệch chuẩn "standard deviation" trong một phân phối xác suất chuẩn "normal distribution" chứ không so sánh với giá trị trung bình. Điều quan trọng phải nhớ khi đánh giá mức rủi ro dựa vào kurtosis đó là NÓ PHẢI ĐƯỢC SO SÁNH VỚI MỘT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CHUẨN "normal distribution"

Kurtosis của "normal distribution" luôn bằng 3, bởi người ta đã chứng minh bằng phép toán thống kê xác suất là nó luôn bằng 3 nên buộc ai học CFA phần này cũng phải khẩu phục dù tâm chưa phục.

Để đánh giá rủi ro người ta phải so sánh "excess kurtosis" với kurtosis chuẩn (trong đó ngầm qui định kurtosis chuẩn có giá trị luôn luôn bằng 3). Công thức tính "excess kurtosis" như sau:

Excess kurtosis = sample kurtosis - 3 {A}

Leptokurtic là trạng thái "positive excess kurtosis", nghĩa là khi "excess kurtosis" trong công thức {A} cho giá trị lớn hơn 0

Platykurtic là trạng thái "negative excess kurtosis", nghĩa là khi "excess kurtosis" trong công thức {A} cho giá trị nhỏ hơn 0.

Vậy cả "leptokurtic" và "platykurtic" đề là "excess kurtosis" >>> có lẽ lên gọi là "kurtosis lệch" cho nó trung tính bởi chẳng biết nó lệch tăng hay lệch giảm nữa :004:

Kurtosis như thế nào thì được coi là rủi ro? Càng "lép" thì càng rủi ro...Hiii...

Nghĩa là:

Nếu có "leptokurtic" và "Platykurtic" thì dĩ nhiên "leptokurtic" sẽ rủi ro hơn "platykurtic"

Nếu có 2 cái "leptokurtic" thì cái nào "lép hơn" sẽ rủi ro hơn.

Nếu có cả skew vào nữa thì cứ thằng nào skew âm và "lép nhiều" thì quá rủi ro.

Cuối cùng thì cũng phân biệt được tí chút. Các bạn bổ sung giúp/ hoặc sửa giúp nếu tớ hiểu sai nhé!

P/S: Xennont, trangnam qua check giúp chị với. Thank you!

 

[Jonicute]

Phết thêm bài của tunganhtr giải thích cách đây vài tháng (lúc đó cũng chưa hiểu mô tê gì) để rõ vấn đề hơn.

Skewness và Kurtosis là 2 khái niệm quan trọng trong statistics và cũng quan trọng trong nghề đầu tư. Skewness là moment bậc 3. Kurtosis là moment bậc 4. Portfolio theory, Capital Asset Pricing Mode chỉ cho ta cách xây dựng 1 portfolio tối ưu ứng với return và risk của từng asset. Giả thiết của lý thuyết này là return được phân bổ theo 1 Normal Distribution tuyệt đối, nghĩa là có mean và có variance (or standard deviation) và distribution curve có dạng chuông rất đối xứng.

Trên thực tế, không có return của asset nào phân bổ tuyệt đối đối xứng. Phân bổ theo Normal Disitribution thì có nhưng hoặc méo trái hoặc méo phải. Sự méo (lệch) này được đo bằng skewness.
Ý nghĩa của skewness rất quan trọng. Ví dụ ta tính giá trung bình 100 ngày của 1 cổ phiếu và đạt được 1 giá trị trung bình dương = 20%. 20% lợi nhuận là tốt để đầu tư nếu chỉ dựa trên giá trị trung bình. Nhưng khi lấy skewness, ta đạt được 1 skewness âm, điều này nghĩa là trên 100 ngày, đa số ngày là có return dương, nhưng bỗng nhiên có 1 hoặc 2 ngày có return âm rất mạnh. Việc có một số nhỏ return âm mạnh này không thể hiện trong mean nhưng trong skewness thì nó thể hiện = 1 giá trị âm, nghĩa là các return dương bị ảnh hưởng mạnh bởi 1 số nhỏ return âm đáng kể.
Việc bỗng nhiên 1 số return rất âm nhảy vào như vậy là 1 điều không hay và là 1 loại rủi ro cần tránh. Nếu mua 1 cổ phiếu có skewness âm, thì nghĩa là cho dù mean return có dương thì trong tương lai vẫn dễ bị ăn return âm. Độ âm bao nhiêu tỉ lệ vào độ âm skewness.
Ngược lại, nếu mean return rất thấp nhưng skewness cao thì nghĩa là trong tương lai có khả năng ăn 1 số return cao bất ngờ; Cái này là skewness dương.
Vì lí do này mà CFA curriculum nói rằng positive skewness là tốt.
Trên thực tế, gần như tất cả các cổ phiếu, kể cả blue-chips trên tất cả các Index lớn nhất thế giới hiện nay đều có 1 skewness âm, chỉ khác nhau ở độ âm ít hay lớn.

Skewness là moment bậc 3.
Kurtosis là moment bậc 4.
Mean return thường được tính để làm benchmark so sánh giữa các cổ phiếu. Nếu kurtosis thấp thì nghĩa là các giá trị không có xu hướng đi xa khỏi mean return, như vậy độ an toàn và thanh khoản cao. Cái này gọi là leptokurtic, đường Normal curve rất hẹp, nên leptokurtic nghĩa là "lép". Càng "lép" thì càng tốt vì dao động ít. Dao động ít thì rủi ro ít. Trong 1 thị trường, những cổ phiếu rủi ro ít nhất (dao động ít nhất) có nhiều khả năng được gọi là blue-chips. Càng leptokurtic càng tốt. Ngược lại, platokurtic nghĩa là dao động mạnh, có thể rất cao về bên dương so với mean return, cũng có thể rất thấp về bên âm so với mean return. Dao động mạnh thì rủi ro nhiều, thanh khoản sẽ thấp vì không an toàn.
Trong phân tích đầu tư, skewness và kurtosis là 2 chỉ số cần phải đo ngay sau mean return và variance return vì đây mới thực sự là những chỉ số đo rủi ro. Điều này ít người biết. Lí tưởng là 1 cổ phiếu có skewness dương và kurtosis nhỏ (leptokurtic) vì như vậy có nhiều khả năng bất thình lình ăn to (skewness dương) mà độ an toàn lại cao (kurtosis thấp).

Skewness là mô men bậc 3
Kurtosis là mô men bậc 4

Trước đó chắc còn mô men bậc 1 và bậc 2. Và trong thống kê người ta hay dùng phối hợp nhiều measurement để loại các phần tử đột biến giúp phép thống kê chính xác.

Đó là cách giải thích của tunganhtr.

 

[lannhu]

Nếu kurtosis thấp thì nghĩa là các giá trị không có xu hướng đi xa khỏi mean return, như vậy độ an toàn và thanh khoản cao. Cái này gọi là leptokurtic, đường Normal curve rất hẹp, nên leptokurtic nghĩa là "lép". Càng "lép" thì càng tốt vì dao động ít. Dao động ít thì rủi ro ít. Trong 1 thị trường, những cổ phiếu rủi ro ít nhất (dao động ít nhất) có nhiều khả năng được gọi là blue-chips. Càng leptokurtic càng tốt. Ngược lại, platokurtic nghĩa là dao động mạnh, có thể rất cao về bên dương so với mean return, cũng có thể rất thấp về bên âm so với mean return. Dao động mạnh thì rủi ro nhiều, thanh khoản sẽ thấp vì không an toàn.

Tớ thấy đoạn này của tunganhtr có sự mâu thuẫn.

Càng lép càng ít dao động tức ít rủi ro, nhưng theo hình vẽ càng lép thì đỉnh distribution lại càng cao, tức giá trị lepkurtosis càng lớn. Như thế, lepkurtosis càng lớn thì càng rủi ro, càn dao động nhiều chứ không phải ít dao động.

Còn platykur không có nghĩa là dao động mạnh, flat càng thấp thì tính rủi ro càng thấp.

Tóm lại, càng lép thì càng rủi ro, ngược lại càng plattykur thì càng ít rủi ro. Sách CFA có bảo căn cứ sự lệch gần hay xa mean là căn cứ vào tails chứ không phải căn cứ vào thân hay đỉnh của distribution. Có lẽ tunganhtr xác định căn cứ vào thân và đỉnh nên mới có sự mâu thuẫn trên.

Quantative mà ko có ví dụ thực tế thì đúng là quá trừu tượng để hiểu. Tớ cũng đau đầu phần này.

 

[Jonicute]

Nếu kurtosis thấp thì nghĩa là các giá trị không có xu hướng đi xa khỏi mean return, như vậy độ an toàn và thanh khoản cao. Cái này gọi là leptokurtic, đường Normal curve rất hẹp, nên leptokurtic nghĩa là "lép". Càng "lép" thì càng tốt vì dao động ít. Dao động ít thì rủi ro ít. Trong 1 thị trường, những cổ phiếu rủi ro ít nhất (dao động ít nhất) có nhiều khả năng được gọi là blue-chips. Càng leptokurtic càng tốt. Ngược lại, platokurtic nghĩa là dao động mạnh, có thể rất cao về bên dương so với mean return, cũng có thể rất thấp về bên âm so với mean return. Dao động mạnh thì rủi ro nhiều, thanh khoản sẽ thấp vì không an toàn.

Tớ thấy đoạn này của tunganhtr có sự mâu thuẫn.

Càng lép càng ít dao động tức ít rủi ro, nhưng theo hình vẽ càng lép thì đỉnh distribution lại càng cao, tức giá trị lepkurtosis càng lớn. Như thế, lepkurtosis càng lớn thì càng rủi ro, càn dao động nhiều chứ không phải ít dao động.

Còn platykur không có nghĩa là dao động mạnh, flat càng thấp thì tính rủi ro càng thấp.

Tóm lại, càng lép thì càng rủi ro, ngược lại càng plattykur thì càng ít rủi ro. Sách CFA có bảo căn cứ sự lệch gần hay xa mean là căn cứ vào tails chứ không phải căn cứ vào thân hay đỉnh của distribution. Có lẽ tunganhtr xác định căn cứ vào thân và đỉnh nên mới có sự mâu thuẫn trên.

Quantative mà ko có ví dụ thực tế thì đúng là quá trừu tượng để hiểu. Tớ cũng đau đầu phần này.

Hi Lannhu,

Chu'c cau 2/9 nghi vui khoe hen! Mai dc nghi to dang thich chang muon leptokurtic voi platekurtic gi het! hii....

A, sorry vi cai may tinh nha moi cai lai Win nen chua co Vietkey --> Danh phai danh chu khong dau, co gang doc va hieu nhe! Hii.....

Dung la tunganhtr noi sai day! Cang "lep" thi cang rui ro. Voi mot diagram cang "lep" thi phan dinh "top" cang cao va phan duoi "tail" cang det "flat" va xa. Do vay, do lech "deviation" so voi do lech chuan "Standard Deviation" cang lon. Nen rui ro cang cao!

Hoi tunganhtr giai thich to chua hieu vi chua doc sach. Vua roi cung ko doc lai, nen ko de y. Chinh xac, to confirm (theo y hieu cua to) thi cang leptokurtic thi cang rui ro so voi "standard deviation".

Skew va kurtosis trong danh gia rui ro khong lien quan gi toi nhau, do chi la 3 diameter trong staticstic ma thoi.

A, to bo sung them loi tunganhtr.

Momen bac 1 co le la "mean"
Momen bac 2 co le la "variance"
Memen bac 3 la "skew"
Momen bac 4 la "kurtosis"

Ly do suy dien: vi cong thuc chung deu tinh gia tri binh quan "average" cua "observation value" va so mu lan luot la 1, 2, 3, va 4

Lannhu co doc phan nay roi ha? Doc tiep sang phan "common probability" --> Sample --> Hepothesis testing va het studynote book 1 di nhe! Sau 4/9 to muon total discuss book 1 (tru phan ethnics :004 va "off topic" phan quantity.

Thanks for yr idea contribution!

 

[Jonicute]

Ah, to co la`m it bai test phan na`y. Nhin chung ba`i tap phan na`y "easy", co va`i dang thoi. Ma hoc ve no' thi` cung co' moi mot ti'.

Phan na`y chac chan ko the mat diem (neu thi)...Co khoang 10 dang cau hoi la het thoi lannhu a!